DGSSON PROVA SORU ÇÖZÜMLERİ. TELEFON. 0 (212) 570 10 82. E-MAIL. satis@tasariegitimyayinlari.com. ÇALIŞMA SAATLERİ. Hafta içi - Hafta Sonu . TASARI EĞİTİM YAYINLARI. Eğitimde 38. Yılımız Soruçözümleri yapılmadan önce konu anlatımı denilen içerisinde her konunun mantığını, konunun ne olduğunu anlatmakta olan bir kitap tarafından yardım almaktadır. TYT matematik deneme orta seviye temel konuları tamamlayıp bir üst seviyeye geçen kişiler tarafından kullanılmakta olan bir deneme kitabıdır. Kolay sorular 4 Cevapların alınmasından sonra öğretmeniz soru ve çözümüyle ilgili detayları öğrencileriyle paylaşır, 5. Soruların çözümü sırasında, öğrenciler anlayamadıkları bölümleri sohbet ekranından sorabilir, Süreci takip eden ve mesaj alanını yöneten görevli alan öğretmenlerimizden sorularına cevap alabilirler. AYTMatematik Soru Bankası. Videolu Çözüm Sayfasına Git! Polinomlar. ORİJİNAL 1. Soru 1. Soru 2. Soru 3. Soru 4. Soru 5. 1 2, 3, 4 ve 5 rakamları kullanılarak yazılabilen, rakamları tekrarlı veya tekrarsız tüm iki basamaklı tek sayıların toplamı kaçtır? /simay wf9pN. Arkadaşlar bu ünitede kullanılan formüllerin nasıl elde edildiğini bilmek, kolay çözüm yapmamıza ve farklı yollar bulmamıza olanak sağlayacaktır. Formül A kişisi bir işi x günde, B kişisi aynı işi y günde bitiriyor. İki kişi bu işi beraber kaç günde bitirir? A kişisi bir günde işin ini, B kişisi bir günde işin sini yapar. İkisi bir günde sini yapar. Bu ikisi t gün çalışıp işi bitiriyorsa bağıntısı bulunur. Örnek1 A bir işi 20 günde, B aynı işi 30 günde yapabiliyor. İkisi birlikte bu işi kaç günde bitirir? payda eşitlersek buradan bulunur. iş 60 birimlik iş olsun.20 ve 30 un okeki A kişisi 60 birimlik işi 20 günde yapabiliyor ise bir günde 3 birimlik iş yapar. B kişisi de 60 birimlik işi 30 günde yapabiliyor ise bir günde 2 birimlik iş yapar. ikisi beraber bir günde 5 birimlik iş yapar. günde 5 birimlik iş yapılabiliyor ise 60 birimlik iş 12 günde yapılır. =12 Örnek2 A kişisi bir işin ünü 3 saatte, B kişisi aynı işin unu 4 saatte bitirebiliyor. İkisi birlikte bu işi kaç saatte bitirebilirler? ÇözümA kişisi işin ünü 3 saatte yapar ise tamamını saatte yapar. aynı şekilde B kişisi işin unu 4 saatte yapar ise tamamını 18 günde yapar. Formülü kullanalım. payda eşitlersek bulunur. Örnek3 Bir işi A kişisi 8 saatte, B kişisi aynı işi 6 saatte bitirebiliyor. Buna göre A kişisi 2 saat, B kişisi 3 saat çalışırsa işin kaçta kaçı biter? Çözüm A kişisi 1 saatte işin ini yapar. 2 saat çalışmış. 2 saatte de işin ünü yapar. B kişisi de 1 saatte işin sını yapar. 3 saat çalışmış. 3 saatte işin sini yapar. Toplamde ikisi beraber işin 1/2+1/4=3/4ünü yapar. Örnek4 A ile B bir işi beraber 6 saatte bitirebilmektedir. İkisi beraber 2 saat çalıştıktan sonra B işi bırakıyor. Kalan işi A 10 saatte tamamlıyor. Buna göre A işin tamamını tek başına kaç saatte bitirebilir? Çözüm4A kişisi a saatte, B kişisi b saatte bitirsin. .......1 B kişisi 2 saat, A kişisi toplamda 12 saat çalışmış ve iş bitmiş. ........2 1. Denklem -2 ile çarpılıp taraf tarafa toplama yapılırsa . Buradan a=15 bulunur. Örnek5 Eşit kapasiteli 8 işçi işin sini 9 saatte bitirebilmektedir. Buna göre eşit kapasitedeki 14 işçi işin unu kaç saatte bitirebilir? Çözüm 8 işçi işinsini 9 saatte bitirirse tamamını yani sini kaç saatte bitireceğini bulalım. doğru orantıdan işin tamamı saatte biter. Şimdi 8 işçi bir işi saatte bitirebiliyor ise unu kaç saatte bitirir diye soralım. .=7 günde bitirir. Son olarak 8 işçi işi 7 günde bitiriyor ise 14 işçi kaç günde bitirir diye sorarız. ters orantıdan ve buradan x=4 bulunur. Öss sorusu6Üç işçi belli bir işi sırasıyla x,y,z günde bitirebilmektedir. Üçü birden aynı işi 24 günde bitirebildiğine ve x Çözüm x=y=z=k kabul edelim. k=72 çıkar. z sayısı 72 den büyük olmalı. Cevap 73. Öss sorusu7 Bir işçi, bir işin sını bitirdikten sonra 14 gün daha çalışırsa işin yarısını bitirebiliyor. Buna göre bu işin tamamını kaç günde bitirir? Çözüm İşin tamamı 6x olsun. sı yani x kısmı yapıldı. İşin yarısı da 3x olacağından 14 gün çalışılan kısım 2x lik kısım olur. buradan x=7, ve işin tamamı yani 6x=42 günde biter. Şimdi de işçi problemlerinde hız faktörünü ele alalım. Bilmemiz gereken nokta hız ile bir işi yapma süresinin ters orantılı olduğudur. Hızlı çalışılan bir iş daha kısa sürede biter. Örnek 8 Sezgin bir işi 15 günde bitirebilmektedir. Sezgin hızını 2 kat artırırsa aynı işi kaç günde bitirebilir? Çözüm İlk olarak 2 katına çıkarmak ile 2 kat artırmak arasındaki farka dikkat edelim. V hızını 2 katına çıkarmak, hızı 2V yapmak demektir. V hızını 2 kat artırmak ise, hızı V+2V=3V yapmak demektir. Soruya dönersek; V hızı ile 15 günde yaparsa 3V hız ile x günde yapar Ters orantı dan ve buradan x=5 bulunur. Örnek 9 Hızları oranı olan Ahmet ve Efe bir işi birlikte 12 saatte bitirebiliyorlar ise bu işi Ahmet tek başına yaparsa kaç saatte bitirebilir. Çözüm Ahmet'in hızı 2V, Efe'nin hızı 3V olsun. Süre ile hız ters orantılı olduğundan bu işi Ahmet 3t, Efe ise 2t sürede yapar. Formülümüzü kullanırsak; denklemi çözersek t=10 bulunur. Ahmet 3t sürede bitirir demiştik. Cevabımız da 3t=30 olur. Örnek 10 Nil bir işi günde 15 günde Su ise 8 günde bitirebilmektedir. Nil çalışma hızını 2 kat artırır Su ise çalışma hızını yarıya indirirse ikisi beraber aynı işi kaç günde bitirir? Çözüm Nil için; Su için; V hızı ile 15 günde V hızı ile 8 günde 3V hız ile x günde V/2 hız ile x günde x=5 x=16 Formülü kullanalım buradan t=80/21 bulunur. Geometride özellikle soru çözerken çokça karşımıza çıkan 3 4 5 üçgeni, kenar ölçülerinin 3 4 ve 5 rakamıyla orantılı olarak artan ya da azalan bir dik üçgendir. Normalde Pisagor teoremi uygulayarak bulmamız gereken zamanlarda pratik bir yöntem olarak bu özel üçgenlerin bilinmesi hem sınavlarda hem de günlük hayatta bize çokça kolaylık sağlayacaktır. 3 4 5 ÜÇGENİ AÇILARI Kenarlarının ölçüsü 3 4 5 metre santimetre ya da başka bir birim ile orantılı olarak artan ya da azalan üçgenler vardır. Kenar ölçüleri 3 4 ve 5 ile orantılı olan bu üçgen özel bir üçgendir. Dik kenarlarının ölçüsü 3 ve 4, hipotenüsü dik açının gördüğü kenar 5 ile orantılıdır. Bu 3 4 5 üçgeninin açılarının ölçüleri ise şu şekildedir 5 birim olan kenarı gören açının ölçüsü 90 derece 4 birim olan kenarı gören açının ölçüsü derece 3 birim olan kenarı gören açının ölçüsü derecedir. 3 4 5 ÜÇGENİ AĞIRLIK MERKEZİ 3 4 5 üçgeninin ağırlık merkezini anlayabilmemiz için önce kenarortay kavramını bilmemiz gerekir. Kenarortay, üçgende bir kenarın orta noktasını onu gören açı ile birleştiren doğru parçasıdır. Üçgende kenarortayların kesişim noktasına ise G yani ağırlık merkezi denir. Dik üçgenlerde ise dik kenardan inen kenarortay hipotenüsü iki eş parçaya böler ve bu eş parçaların uzunluğu ile dik kenardan inen kenarortayın boyutu aynıdır. Bu kural muhteşem üçlü olarak da bilinir. 3 4 5 üçgeninde de ağırlık merkezini her kenarı iki eş parçaya bölen kenarortayların kesişim noktası olarak bulmaktayız. 3 4 5 ÜÇGENİ ÖZELLİKLERİ Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları 3 ve 4 ile orantılı dik açının gördüğü kenar hipotenüs 5 ile orantılıdır. Yani kenar uzunluklar 3-4-5 ile orantılı bir üçgen gördüğümüz zaman bu üçgen kesinlikle bir dik üçgendir diyebiliriz. Pisagor teoremine göre ise dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesini vermektedir. Bu özel üçgenin 3 ile orantılı olan kenarı gören açısı derece, 4 ile orantılı olan kenarı gören açısı derece ve 5 ile orantılı olan kenarı gören açısı ise 90 derecedir. 3 4 5 ÜÇGENİ İLE İLGİLİ SORULAR ABC bir dik üçgen [AB] kenarı ile [AC] kenarı birbirine diktir. AB kenar uzunluğu x, AC kenar uzunluğu x+1, BC kenar uzunluğu x+2 ise; x kaçtır? X=3, bu üçgen de 3 4 5 üçgenidir. Bir ABC dik üçgeninde AB kenarı ile BC kenarı birbirine diktir. AB kenar uzunluğu 9 cm, AC kenar uzunluğu ise 15 cm dir. Bu bilgilere göre BC kenarının uzunluğu kaç cm dir? Bu soru Pisagor teoremi ile çözüldüğünde cevap 12 olacaktır. Fakat 9 12 15, 3-4-5 özel üçgeni ile orantılı olduğundan bu soruyu işlem yapmadan çözebilmekteyiz. Matematik 10. sınıf yamuk ile ilgili test soruları ve çözümleri açıklamalı olarak anlatılmaktadır. Yamuk Soruları 1 ABCD ikizkenar yamuğunda verilenlere göre, yamuğun alanı A ABCD = ? nedir? A 18 B 24 C 28 D 50 E 56 Çözüm D ve C köşesinden alt tabana indirilen dikme ile, AB tabanı 3 - 4 - 3 olarak parçalanır. Dikmenin uzunluğu yükseklik 3-4-5 üçgeninden h = 4 olur . Yamuğun alan formülüne göre , A ABCD = 10 + 4 . 4 / 2 = 28 olur. Cevap C 2 ABCD dik yamuk ve Alanı 40 br 2 ise , şekilde verilenlere göre, BC = x uzunluğu kaçtır? A 10 B 12 C 13 D 16 E 20 Çözüm C den dikme indirilir. h = 8 olur. DC = y diyelim. Yamuğun Alan formülüne göre , 8 + y . 8 / 2 = 40 eşitliğinden 8 + y = 10 ise y = 2 olur. CHB üçgenide 6 - 8 - 10 üçgeni olur. x = 10 Cevap A 3 ABCD yamuğunda DC = CB = 8 cm , m ABD = 30 derece , AB = 12 ise ABCD yamuğunun alanı kaç cm 2 dir? A16√3 B 24√3 C 36√3 D40√3 E 48√3 Çözüm BDC açısı ABD ile içters açıdır ve 30 olur. CDB üçgeni 30-30-120 üçgeninden , BD = 8√3 olur. D den indirilen dikme 30 - 60 - 90 üçgeni olur. Yamuğun yüksekliği de , BD nin yarısı 4√3 olur. Alan = Alt taban + Üst taban .Yükseklik / 2 Alan = 12 + 8 . 4√3 / 2 Alan = 40√3 Cevap D 4 Şekildeki ABCD yamuğunda verilenlere göre, BC = x uzunluğu kaçtır? A 2 B 3 C 4 D 6 E 8 Çözüm D den indirilen dikme 45-45-90 üçgeni oluşturur. Yükseklik 3 olur. C den indirilen dikme 30 - 60 - 90 üçgeni oluşturur. x uzunluğuda 30 un karşısının iki katı olacağından , x = = 6 olur. Cevap D 5 Şekildeki ABCD ikizkenar yamuğunun alanı 24 cm 2 ise verilenlere göre, BC = x uzunluğu kaç cm dir? A 3 B 4 C 5 D 6 E 8 Çözüm Yamuğun alan formülüne göre , 24 = 9 + 3 . h / 2 48 = 12 h h = 4 olur. C den indirilen dikme yükseklik 4 olur . 3-4-5 üçgeni oluşur. x = 5 olur. Cevap C SORU 1≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ? ÇÖZÜM 1 öncelikle eştsizliği ayrı ayrı sıfır yapan değerlere bakalım; pay için; 2x-5=0 ise x=5/2 payda için ; x+4=0 ise x=-2 Bunları tabloda gösterelim; Tabloya bakarsa bizim aradığımız bölgenin -4,5/2] aralığı olduğunu görürüz. Bu durumda çözüm kümemiz bulunur. - SORU 2≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM 2 Bu çarpanın baş katsayısı -2 yani negatiftir. Bu üç çarpandan sadece birinin baş katsayısı eksi olduğundan son bölgenin en sağ bölgenin işareti eksidir. Diğer bölgelerin işaretleri sağdan sola doğru değiştirilerek bulunur. Tabloya göre; Buna göre, Not +&= artı sonsuzu ifade eder - SORU 3 Eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM 3x-1.x+1-x-3.x-2x-2.x+1x²-1-x²-5x+6x-2.x+1 5x-7=0 =>x=7/5 x-2=0 =>x=2 paydayı sıfır yapar x+1=0=>x=-1paydayı sıfır yapar Tabloya bakarsak işareti negatif olan bölgeleri arıyoruz Bu durumda ; - SORU 4 x²+3x-4≤0 x²-5x+6>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ? ÇÖZÜM 4 x²+3x-4=x+4.x-1=0 olduğundan x=-4,1 x²-5x+6=x-2.x-3=0 olduğundan x=2,3 Tabloya göre; biz birinci eşitsizlikte sıfırdan büyük olanı + ile taradığım, ikinci eşitsizlikte sıfırdan küçük olanı- ile taradığım arıyoruz. Tabloda istediğimiz kısımların kesişimi bize sistemin çözüm kümesini verir. bulunur. 1 ve 4 dahildir çünkü bu iki sayı da 1. eşitsizliğin kökleri 1. eşitsizlikte küçük eşit olduğundan dahildir. - SORU 5 x²-4 x=2,-2 x²-2x-3=0 =>x=3,-1 Tabloya göre; Birinci eşitsizlikte bize sıfırdan küçük olan kısım- olarak taradığım lazım, ikinci eşitsizlikte ise bize sıfırdan büyük+ olarak taradığım ve eşit olan kısım lazım. Bu tabloda bu ikisinin kesişimi sistemin çözüm kümesini oluşturur. bulunur. Burada 1'i dahil olarak almamın sebebi eşitsizliğinin büyük eşit olmasından kaynaklanıyor. - SORU 6 x+4≤5 ifadesinin çözüm kümesi nedir ? ÇÖZÜM 1. yol -5≤x+4≤5 -9≤x≤1 x+4=5 x+4=5 veya x+4=-5 x=1 veya x=-9 Tabloya göre bizim aradığımız aralık -9 ve 1 arası ama eşitsizliğimizde eşitlik olduğundan bulunur. - SORU 7 x²-4.x-1≤0 ise çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM 7 x=2 ve x=-2 olur. Bizim aradığımız aralık sıfırdan küçük olduğundan tabloda "-" ile taradığım kısıma bakarız aynı zamanda dahil olduğundan kapalı aralıkta gösteririz. bulunur. - SORU 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM 8 ifadeyi sıfır yapan değerlere bakalım; x=2,-2 ve çift katlı x=-10,11 x=-3 çift katlı fakat dahil değil. sıfırdan büyük aralıklara bakacağız + ile taradığım ama mutlak değerli ifadeleri de dahil edeceğiz. - SORU 9>0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM 9 önce ifadeyi sıfır yapan değerlere bakalım x=0 ve x=1/20 x-1-5=0 x-1=5 x-1=5 veya x-1=-5 x=6,x=-4 Tabloda sıfırdan büyük olan kısımları + olarak taradığım arıyoruz.; - SORU 10≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM 10 sadece payda kök bulabiliriz. x-1=0 için x=-1 olur. Çünkü x+10=0 olamaz. o halde eşitsizliğimizin tablosu; şeklinde olur biz sıfırdan küçük olan kısmı- ile taradığım arıyoruz. bulunur. 1 dahil çünkü eşitlik var. A. POLİNOMLAR olmak üzere, Px = a0 + a1 × x + a2 × x2 + ... + an × xn biçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı polinom çok terimli denir. Burada, a0, a1, a2, ... an reel sayılarına polinomun kat sayıları, a0, a1 × x , a2 × x2 , ... , an × xn ifadelerine polinomun terimleri denir. an × xn terimindeki an sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi denir. Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[Px] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir. Polinomlar kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı olan polinomlara reel kat sayılı polinom, kat sayıları rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom, kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom denir. Tanım Olmak üzere, Px = c biçimindeki polinomlara,sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 sıfır dır. Tanım Px = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır. Polinomların Eşitliği Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir. B. POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. Toplama İşlemi İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır. 2. Çıkarma İşlemi Px – Qx = Px + [–Qx] olduğu için, Px polinomundan Qx polinomunu çıkarmak, Px ile –Qx i toplamaktır. Bunun için çıkarma işlemini, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz. 3. Çarpma İşlemi İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır. 4. Bölme İşleminin Yapılışı Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır 1 Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır. 2 Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak yazılır. 3 Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır. 4 Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır. 5 Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir. Tanım m > n olmak üzere, der[Px] = m ve der[Qx] = n olsun. Px in Qx ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu Bx olsun. Buna göre, der[Px + Qx] = m, der[Px – Qx] = m, der[Px × Qx] = m + n, der[Bx] = m – n, der[[Px]k] = k × der[Px] = k × m, der[[Pxk]] = k × der[Px] = k × m dir. C. Px İN x = k İÇİN DEĞERİ Px = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn polinomunun x = k için değeri, Pk = a0 + a1 × k + a2 × k2 + … +an × kn dir. Kural Px = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn polinomunda x = 1 yazılırsa, P1 = a0 + a1 + a2 + ... + an olur. Bu durumda P1 in değeri Px polinomunun kat sayıları toplamıdır. Sonuç Herhangi bir polinomda x yerine 1 yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı bulunur. Örneğin, Px + 7 polinomunun kat sayıları toplamı, P1 + 7 = P8 dir. Kural Px = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn polinomunda x = 0 yazılırsa, P0 = a0 olur. Bu durumda P0 ın değeri Px polinomunun sabit terimidir. Sonuç Herhangi bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit x ten bağımsız terimi bulunur. Örneğin, P2x + 3 polinomunun sabit terimi, P0 + 3 = P3 tür. D. Px İN ax + b İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN Px in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm Bx, kalan K olsun. Buna göre, Yani; Px polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü olan için Px polinomunun değeri olan hesaplanır. Sonuç Px polinomunun x – a ile bölümünden kalan Pa dır. Px + b polinomunun x – a ile bölümünden kalan Pa + b dir. P3x + b polinomunun x – a ile bölümünden kalan P3 × a + b dir. E. Px İN xn + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN Kural Derecesi n den büyük olan bir polinomun xn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır. xn + a = 0 ise, xn = –a F. Px İN x – a × x – b ÇARPIMI İLE BÖLÜNMESİ Kural 1 Px polinomu x – a × x – b çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür. 2 x – a ve x – b aralarında asal polinomlar olmak üzere; Px, bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, x – a × x – b çarpımı ile de tam olarak bölünür. G. Px İN a × x + b2 İLE BÖLÜNEBİLMESİ Px polinomu ax + b2ile tam bölünebiliyorsa, Px polinomu ve P'x polinomu ax + b ye tam olarak bölünür. P'x, Px in türevidir. Buna göre, Px polinomu ax + b2ile tam bölünebiliyorsa, ÇÖZÜMLÜ SORULAR POLİNOM SORULARI ÇÖZÜMLERİ SORU 1 px=xm-3+xm-2+x+1 ifadesi bir polinom olduğuna göre, m kaçtır ? Polinom olma şartı ÇÖZÜM 1 Px’in 2. derece polinom olabilmesi için, m-2=2=>m=4 olmalı. ——————————————— SORU 2 px=x6/n+nn-2+2 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır. ? Polinom olma şartı ÇÖZÜM 2 px in polinom olabilmesi için 6/n ∈N=>n={1,2,3,6} olur. n-2≥0 => n≥2 olacağından n=1 olamaz. n={2,3,6} dır. ——————————————————- SORU 3 der[px]=3 der[Qx]=2 olduğuna göre, der[px².Qx] kaçtır ? polinomda derece bulma ÇÖZÜM 3 der[px]=3 ise Px=x³ olsun. der[Qx]=2 ise Qx=x² olsun. Buna göre, px²=x²³=x6 dır…..* px².Qx= dir…..** Bu durumda, der[px².Qx]=8′dir. Yaptıklarımızı genelleyelim der[px².Qx]=der[px²]+der[Qx] =2der[px]+der[Qx] = =8 bulunur. ———————————— SORU 4 px+1=3x+1 olduğuna göre, px+2 polinomunun kat sayıları toplamı kaçtır ? polinom ve katsayılar toplamı ÇÖZÜM 4 px+2 polinomunun katsayıları toplamı p1+2=p3’tür. p3’ü elde edebilmek için, verilen px+1 polinomunda x yerine 2 yazılır. px+1=3x+1 p2+1= p3=7 bulunur. —————————————————————– SORU 5 px+2=4x²+3x+1 olduğuna göre, px+3 polinomunun sabit terimi kaçtır ? polinom ve sabit terim ÇÖZÜM 5 px+3 polinomunun sabit terimi p0+3=p3’tür. p3’ü bulmak için, verilen px+2 de x yerine 1 yazılır. px+2=4x²+3x+1 p3=4+3+1 p3=8 ———————————————– SORU 6 px=x6+x³+x²+x+1 polinomunun x³-1 ile bölümünden kalan nedir ? polinomda bölme soruları ÇÖZÜM 6 x³-1=0=> x³=1 yazılır. px=x³²+x²+x+1 =1+1+x²+x+1 =x²+x+3 bulunur. ——————————————————- SORU 7 px=2x³+ax²-x+2 polinomu x+2 ile tam bölünebildiğine göre, a değeri kaçtır ? ÇÖZÜM 7 p-2=0 olmalıdır. x=-2 için p-2=2.-2³+a.-2²-2+2 0=-16+4a+4 a=2 bulunur. ——————————————————————————————————- SORU 8 p2x-1+2x²=Qx+x veriliyor. px polinomunun x-1 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre qx-3 polinomunun x-5 ile bölümünden kalan kaçtır ? ÇÖZÜM 8 p2x-3+2x²=Qx+x p1=6=>Q2=? x=2 için p1+ 6+8=Q2+2 Q2=12 bulunur. ———————————————————————- SORU 9 px=x10+x⁵+1 polinomunun x-5√3 ile bölümünden kalan kaçtır ? ÇÖZÜM 9 px=x10+x⁵+1 x-5√3=0 x=5√3 olur. =5√310+5√3⁵+1 =9+3+1 =13 bulunur. —————————————————————————- SORU 10 px=x2007+x2008+x2009 polinomunun x+1 ile bölümünden kalan kaçtır ? ÇÖZÜM 10 x=-1 yazılır. p-1=-12007+-12006+-12009 =-1+1-1 =-1 bulunur. SORU 11 Px polinomunun,beşinci dereceden bir Qx polinomuna bölümünden elde edilen bölüm x2+5x-7,kalan ise 9x-5 olduğuna göre,Px kaçıncı dereceden bir polinomdur? ÇÖZÜM 11 x²+5x-7.Qx+9x-5=Px Bx 5. dereceden bir polinom ise üstler toplamndan 7 olur ozaman der[Ax]=7 dir Polinom Çözümlü Örnekler SORU 12Px=2x³+ Polinomunun derecesi en çok kaçtır? ÇÖZÜM 12 İfadenin bir polinom olması için üslerin ≥0 olması gerekmektedir. Bunun için 8-n≥0 , 8≥n olmalı. n+2≥0 , n≥-2 olmalıdır. n=8 olursa 4xn+2 ifadesinden polinomun derecesi en çok 10 olacaktır. -SORU 13 Px=2x⁴ + 3x² - 3 Qx=-2x⁴ + 2x -1 olduğuna göre Px+Qx polinomunun derecesi kaçtır ? ÇÖZÜM 13Normal toplama işlemi yaparmış gibi alt alta burda dikkat etmemiz gereken husus toplanacak olan terimlerin aynı dereceden olması gerektiğidir. Px=2x⁴ + 3x² - 3 Qx=-2x⁴ + 2x -1 +_____________ 2x⁴+-2x⁴ + 3x² + 2x - 4 0+3x² + 2x - 4 = 3x² + 2x - 4 ise 2 bulunur. - SORU 14 Px+Px-2=6x-14 olduğuna göre Px polinomu nedir ? ÇÖZÜM 14Burda şöyle düşünmemiz bakalım değil mi ? Toplama işleminde sonucun olması demek toplananların da olması gerektiği anlamına gelir. Örneğin x²+x²=2x² yani Bu durumda Px=mx+n olsun. Px-2=mx-2+n olur. +________________- mx+n+mx-2m+n=6x-14 verilmiş. 2mx+2n-2m=6x-14 m=3 2n-6=-14 2n=-8 n=-4 bulunur. Px = mx+n idi Px=3x-4 bulunur. -SORU 15 bir Px polinomunun x+1 ile bölümünden kalan 5 , x-2 ile bölümünden kalan -1'dir. Buna göre Px polinomunun sabit terimi kaçtır ? ÇÖZÜM 15Px denmiş yani Px=mx+n'dir. Px'in x+1 ile bölümünden kalan P-1=5 x-2 ile bölümünden kalan -1 miş yani P2=-1 P-1=-m+n=5 P2=2m+n=-1 n-m=5 / -1 ile çarpalım. 2m+n=-1 -n+m=-5 2m+n=-1 +_____ 3m=-6 m=-2 n=3 bulunur. Px=-2x+3 P0 isteniyor. P0=-2.0+3 P0=3 bulunur. -SORU 16 Px polinomunun x+2 ile bölümünden kalan -6 , x-2 ile bölümünden kalan 10'dur. Buna göre Px polinomunun x²-4 ile bölümünden kalan nedir ? ÇÖZÜM 16Px'in x+2 ile bölümünden kalan -6 ise P-2=-6 x-2 ile bölümünden kalan 10 ise P2=10 x²-4 ile bölümünden kalanı bulmak için ; Px=x²-4.Bx+K bx=bölüm x²=4 dersek K'ını x² yerine 4 yazalım. Kalan bölenden 1 derece küçük olmalıdır. Kx=mx+n olur. P-2=-6 için K=-6 bulduk. -2m+n = -6 P2 = 10 için 2m+n=10 bulduk 2n=4 n=2 m=4 bulunur. Kx=mx+n'idi. Kx=4x+2 bulunur. ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Soruya Geri DÖN 9. Soruya Geri DÖN 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. YASAL UYARI

3 4 5 soru çözümü