A. TANIM. a, b, c reel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,ax2 + bx + c = 0ifadesine x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi (doğruluk kümesi), çözüm kümesini bulmak için yapılan Örnek 3 2 (m 3)x 2x 5x n 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olup bir kökü 1 dir. Buna göre, m n kaçtır? Çözüm: 3 2 1 1 İkinci dereceden bir denklem olduğundan x lü terimin katsayısı 0 olmalıdır. m 3 0 m 3 tür. Denklemin bir kökü 1 ise, x yerine yazıp n’yi bulabiliriz. 2 x 5 x n 0 2 5 n 0 n 3 tür. m n 3 İkinci dereceden denklemler: 1 Nisan 2019: Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma: III. Dereceden denklemler 2 soru: 27 Nisan 2016: Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma: Esen LYS Matematik - II.Dereceden Denklemler - Rehber Test-1 Çözümleri (6 Soru Yani ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin karmaşık sayı kökleri birbirlerinin eşleniğidir. Problemleri çözerken ilk kökümüzü şeklinde bulduysak, ikinci kök için hesaplama yapmadan yazabiliriz. Şimdi, buraya kadar öğrendiklerimizi basit bir örnekle pekiştirelim. Örneğin; denkleminin çözüm kümesini birlikte İkinciDereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 olsun Kökler Toplamı xx yr. a b 12 += - d Kökler Çarpımı xx.. ı a c 12 = dr Kökleri Verilen İkinci Derece Denklemini Kurmak Kökleri x 1 ve x 2 olan ikinci dereceden denklem x2 – (x 1 XpW7Z. Oluşturulma Tarihi Aralık 14, 2021 2021Matematik sorularının çözümü sırasında cevaba ulaşabilmek için bir takım formüllerin bilinmesi gerekmektedir. Matematik dersinde en fazla karşılaşılan konulardan birisi de kökler farkı olarak bilinmektedir. Kökler farkı nedir ve nasıl bulunur? Kökler farkı formülü ve örnekleri ile konu anlatımı ne şekilde olmalıdır? Kökler farkı ile ilgili merak edilen tüm detayları farkı matematikte en fazla karşılaşılmakta olan konulardan birisi olarak bilinmektedir. Kökler farkı birçok konu içerisinde kullanılsa bile özellikle ikinci derece denklemler konusunun sorularını çözerken mutlaka bilinmesi gereken konulardan birisidir. Kökler Farkı Nedir ve Nasıl Bulunur? Kökler farkı, ikinci dereceden denklemler konusu içerisinde yer alan ve mutlaka bilinmesi gereken konulardan birisi olarak ifade edilebilir. Kökler farkı köklerin kat sayılar ile olan ilişkisini anlatmakta kullanılan bir konu olarak bilinmektedir. Köklerin kendi aralarında toplanmaları, çıkarılmaları, bölünmeleri ve çarpılmaları mümkün olmaktadır. Kökler farkı denildiği zaman ise denklemde bulunan iki farklı kökün farkının alınması gerekmektedir. Kökler farkını hesaplamak için Δ = b 2 – 4ac formülünün kullanılması gerekmektedir. Formül de istenilen değerlerin yerine yazılması sonucunda istenilen cevaba ulaşmak mümkün olacaktır. Kökler farkını bulmak için kökler farkı formülünü kullanmak gerekmektedir. Kökler farkı birçok yerde kullanılmakta olan ve bilinmesi gerekli olan formüller arasında yer almaktadır. Kökler farkının çözülmesi için Δ = b 2 – 4ac formülünde verilerin yerine yazılması gerekmektedir. Kökler farkı formülünde deltanın bulunması önceliği olan işlemlerden birisi olarak ifade edilebilir. Delta bulunduktan sonra delta değerine bakılarak işlemleri devam edilebilir. Kökler Farkı Formülü ve Örnekleri İle Konu Anlatımı İkinci derece denklemler de kökler farkının hesaplanabilmesi için kökler farkı formülünün kullanılması gerekmektedir. Kökler farkı formülü ise Δ = b 2 – 4ac şeklinde ifade edilebilir. Kökler farkı formülleri ikinci dereceden bilinmeyeni olan denklemlerde uygulanmaktadır. İkinci derece denklemler ax2+bx+c bu şekilde yazılmaktadır. İkinci derece denklemlerde kökler farkı formülü sıklıkla kullanılmaktadır. Kökler farkında x1 – x2 = √Δ / a bu formülün kullanıldığını söylemek mümkündür. Deltanın sıfırdan büyük olması durumunda denklemin sıfırdan büyük olmak üzere iki farklı kökünün olduğu ifade edilebilir. Verilen ikinci derece denklemlerde deltanın sıfıra eşit olması durumunda ise denklemin eşit iki gerçek kökü olduğunu söylemek mümkündür. Bu durumda denklemin iki katlı kökü veya çakışık iki kökü olduğunu söylemek mümkündür. Deltanın sıfırdan küçük olması durumunda ise denklemin gerçek bir kökünün olmadığını söylemek mümkündür. Kökler farkının bulunması, sıklıkla ikinci derece denklemlerde kullanılsa bile sadece ikinci derece denklemler de kullanılmamaktadır. Farklı matematik konularının içerisinde de kullanılması gerekebilen bir formül olduğunun bilinmesi gerekmektedir. Kökler Farkının Bulunması Kökler farkının bulunması için uygulanan formül içerisinde delta kavramı bulunmaktadır. Delta ise her denklemin sahip olduğu bir değer şeklinde ifade edilebilmektedir. Delta değerini bulmak için ise uygulanması gereken formül Δ = b 2 – 4ac şeklinde ifade edilebilir. Köklerin farkının bulunması ve köklerin derecelerinin bulunması bu konu içerisinde incelenmektedir. Kökler farkının bulunması için ise önce deltayı hesaplamak gerekir. Sonrasında denklemde yer alan köklerin farkı hesaplanabilir. Köklerin kendi aralarında işlem yapılabilmesi mümkün olmaktadır. Kökler farkı ise kökler ile ilgili olarak yapılan işlemlerden birisi olarak ifade edilebilir. Denklemlerde yer alan kökleri bularak bu köklerin arasındaki farkı hesaplanmakta mümkün olmaktadır. Kökler farkının bulunması için ise en kolay yöntemin kökler farkı formülünü uygulamak olduğunu söylemek mümkündür. Kökler farkı formülünü denklemlerde yer alan verileri formülde yerlerine yerleştirerek istenilen sonuca kolay bir şekilde ulaşmak mümkün olacaktır. Liselere Giriş Sınavı LGS5 Haziran 2022 PazarTemel Yeterlilik Sınavı TYT18 Haziran 2022 CumartesiAlan Yeterlilik Sınavı AYT19 Haziran 2022 PazarDERS NOTLARI 26 KasErgenlik Döneminin Sağlıklı Geçirilebilmesi için Yapılması Gerekenler 13 AğuTüketimi Etkileyen Beşerî Faktörler Ayt Coğrafya 30 HazDivan-ı Hümayun’un Üyeleri ve Görevleri Tarih 02 AraDuyu Organlarının Sağlığı Fen Bilimleri 28 AğuGüneydoğu Anadolu Projesi GAP Ayt Coğrafya 27 MarTürkiye’nin Matematik Konumunun Sonuçları Coğrafya 12 MayTürkiye’de Hayvancılığı Geliştirmek İçin Neler Yapılmalıdır coğrafya 31 AraAmpullerin Bağlanma Şekilleri Fen Bilimleri 29 NisTürkiye’de Bitkilerin Çeşitlenmesi ve Yetişmesine Etki Eden Faktörler 01 Ağu1876’dan 1913’e Osmanlı Devletinde Darbeler ve Sonuçları 27 OcaHaçlı Seferleri 1096-1270 Sosyal Bilgiler 19 AraKütle Çekim Kuvveti Fen Bilimleri 13 HazOrta Çağın Önemli Siyasi Olayları Tarih 16 AraHücre Organelleri ve Görevleri Fen 07 AğuOsmanlı Devleti’nin Son Dönemlerindeki Nüfus Hareketleri 2. dereceden denklemlerin çözümü nasıldır? Daha doğrusu, bunlar nedir? Eğer bu soruları soruyorsanız bu yazı tam size c birer reel sayı ve a 0'dan farklı bir reel sayı olmak üzere, + + c = 0şeklindeki denklemlere 2. dereceden denklemler denir. Bu denkemi çözmeye çalışarak kaç kökü vardır, köklerin toplamı ve çarpımı nedir, nasıl bir grafiğe sahiptir, kökler reel sayı mıdır karmaşık sayı mıdır gibi sorulara çözüm arayalım. En başta denklemin köklerini bulmaya yazılan denklemlerdeki amaç x’i bulmak için bir tamkare ifadeye ulaşmaktı. Bundan dolayı denklemde x + b/2a nın karesini bulundurmaya çalıştık. İçinde sadece x in olduğu bir denklemi çözmek daha kolay bir yoldan çözümlere ulaşmamızı sağladı. Şimdi elde ettiğimiz sonuçlara bakarsak 2 tane kökümüz var. Tabii bu 2 kök ya reeldir ya da ikisi de karmaşık sayıdır. Reel olması için karekökün içindeki ifadenin pozitif olması gerekir, yani b² > 4ac olmalı. Hazır kökleri bulmuşken köklerin çarpımını ve toplamını da ve s bu denklemin yukarıda bulduğumuz kökleri halde kökler toplamı ve çarpımı yukarıdaki gibi olur. Buradan şöyle bir sonuç çıkarax-sx-r= ax² + bx + c. Bunun doğru olduğunu rahatlıkla kontrol edebiliriz. ax-sx-r = ax²-s+rx +sr = ax² -b/ax + c/a = ax² + bx + Bulunmasına Yeni Bir YaklaşımKökleri bu klasik yolla bulduktan sonra 2020'nin ilk aylarında Po -Shen Loh’un fark ettiği yeni bir yöntemle de kökleri bulabiliyoruz artık. Bu basit yöntemi inceleyim. ax² + bx + c = 0 denklemini a’ya bölelim x² + b/ax + c/a = yeni yöntemde köklerin aritmetik ortalaması alınır, -b/2a. Köklerin b-2a’ ya eşit uzaklıkta olması gerekeceğinden kökler -b/2a +- t şeklinde yazılabilir. Kökler çarpımından t bulunabilir. Tabii ki farklı bir sonuç beklemiyorduk fakat tamkareye tamamlamadan daha basit bir yöntem olduğu GrafikleriKökleri bulmakla elde ettiğimiz bilgiler yardımıyla bu tür 2. dereceden denklemlerin grafiklerini inceleyelim şimdi Equations. Wikipedia. Web. kökleri demek fonksiyonu sıfırlayan değerler demek olduğundan 2. dereceden bir denklemin grafiğinde, parabolun x eksenini, yani y=0 eksenini, 2 defa kesmesi beklenir nitekim öyledir. Eğer baş katsayı a pozitifse parabolun kolları yukarı negatif ise parabolun kolları aşağı doğru ax² + bx + c şeklindeki denklemlerin grafiğine verilen bu şekilde olur? a pozitifken, x 0'dan +∞’a doğru giderken ax² + bx + c polinomunun değeri + ∞’a gider. a negatifken, x 0'dan + ∞’a doğru giderken, ax² + bx +c polinomunun değeri + ∞’a doğru gider. Limit kavramı için detaylı bilgiyi Betamat’ın “Limit” başlıklı yazısından elde dereceden denklemlerin çözümünde karekökün içindeki ifadeye, b²-4ac, diskriminant veya delta denir. D veya Δ ile gösterilir. Köklerden anlaşılacağı gibi D>0 ise 2 farklı reel kök vardır, D0 olmalıdır. Bu durumda a,b noktasından çizilen doğru teğet olmaz fakat parabolu iki noktada keser. Parabole teğet bir doğru çizilebilmesi için Δ = 0 olmalıdır. Bu durumda köklerin ikisi de aynı olacağından sadece bir tane x,y değeri için parabol ile doğru kesişir ki bu da doğru parabole teğet demektir. Deltayı inceleyelim. Δ = m² -4ma + 4b. Delta’nın grafiğini çizerken delta denkleminin de deltasına bakmak gerekeceğinden anlam karmaşası olmasın diye Δ = m² -4ma + 4b = z diyelim. z = Δ = m² -4ma +4b parabolunun kökleri olan m değerleri için z = Δ = 0 olur. Δ = z = m² -4ma + 4b = 0. Bu denklemin çözümleri,[4a + 4√a²-b]/2 ve [4a -4√a² -b]/2 olur. Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra 2a + 2√a² -b ve 2a -2√a² -b olur. Eğer a² -b sayısı negatifse Δ 0 eşitsizliği sağlanır. Bu da a,b noktasından çizilen tüm doğruların parabolu 2 noktada keseceğini söyler. Gözlemlemesi kolay olsun diye a,b noktasını 4. bölgeden seçtiğimizden dolayı z = Δ = m² -4ma + 4b parabolunun Δ’sı her zaman 0'dan büyük grafiğini çizmeye çalıştım fakat bu grafikte bir şeye dikkatinizi çekmek isterim Köklerin ikisi de negatif, ikisi de pozitif veya biri negatif diğeri pozitif olabilir. Yani yukarıdaki grafik x ekseni boyunca sağa veya sola ötelenmiş olabilirdi. Son bir bilgi daha ekleyeyim Parabolun kolları yukarı doğru çünkü Δ parabolunun başkatsayısı -yani a’sı -pozitiftir. Görüldüğü üzere a = 1.Δ = 0 olan iki noktada, doğrular parabole teğet olur yeşille taralı alanda Δ 0 olduğundan doğrular parabolu iki farklı x,y ikisi için keser. Şimdi bulduğumuz sonuçları somutlaştırmamızı sağlayan grafiğe ve cebirsel işlemlerden anlaşılacağı üzere 4. bölgedeki a,b noktasından geçen doğrulardan 2 tanesi y = x² parabolune olarak da z = Δ = m² -4ma + 4b grafiğinin deltası negatifse, 16a² -16b 0 olacak dolayısıyla böyle bir noktadan geçen her doğru parabolu 2 defa kesecek, aşağıda görüldüğü soruyu anladıktan sonra 2. dereceden denklemlerin ortaokulda ve lisede pek fazla gösterilmeyen problemlerle ilişkisini umarım az da olsa kavramışsınızdır. İlk bakışta geometri sorusu gibi gözüken bu soru aslında tamamen cebirsel işlemlerden Equation. Wikipedia. Web. Nesin — Derin Matematik 51 2. Dereceden Denklemler. Youtube. Web. A. TANIM olmak üzere, tanımlanan biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir. kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir. İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir. Kural fonksiyonunun grafiğinin parabolün; y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 sıfır, ordinatı f0 = c dir. x eksenini kestiği noktaların varsa ordinatları 0, apsisleri fx = 0 denkleminin kökleridir. Kural denkleminde, olmak üzere, D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser. D 0 ise kollar yukarıya doğru, a 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir. B Parabolün tanım aralığı yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır fx in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur. fa ile fb hesaplanır. a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, fa, fb sayılarının, en küçük olanı fx in en küçük elemanı; en büyük olanı da fx in en büyük elemanıdır. b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; fa, fb sayılarının, küçük olanı fx in en küçük elemanı; büyük olanı da fx in en büyük elemanıdır. D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir. a, b, m, n ve k, t noktaları y = fx parabolü üzerinde ise; b = fa, n = fm, t = fk eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur. Kural Kural Tepe noktası Tr, k olan parabolün denklemi, dir. E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur. kümesinin analitik düzlemde gösterimi kümesinin analitik düzlemde gösterimi F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ y = fx ile y = gx eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır. fx = gx denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer fx = gx denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez. Özel olarak, parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen, D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir. D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez. D = 0 ise doğru parabole teğettir. ÇÖZÜMLÜ SORULAR ÖRNEK parabolü x eksenine teğetse a kaçtır? ÇÖZÜM Bir parabol x eksenine teğetse, denklemi bir tamkaredir, yani diskriminantı 0’dır. – 4x2x2 = 0 diye = 16. Dolayısıyla a = ± 4 olarak bulunur. ÖRNEK parabolünün grafiği yukarıda verilmiştir. AB = 3 olduğuna göre m kaçtır? ÇÖZÜM AB = 3 bilgisinden kökün birinin diğerinden 3 fazla olduğunu yani kökler farkının 3 olduğunu anlıyoruz. Kökler toplamı formülünden de kökler toplamı 4 bulunduğundan Simdi de kökler çarpımı formülünden yardım isteyeceğiz. ÖRNEK Parabollerinin x eksenini kestiği noktalar aynı ise çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM Bir parabolün x eksenini kestiği noktalarının aslında kökleri olduğunu defalarca söyledik. O halde soruda bu bilgi iki parabolün de köklerinin aynı olduğu anlatılmak isteniyor. Kökler toplamında giderek m’yi, kökler çarpımından giderek de n’yi bulacağız. Parabolün Kollarının Yönü ÖRNEK parabolü x eksenine teğet olup, parabolün kollar aşağı doğrudur. Buna göre a kaçtır? ÇÖZÜM . Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan baskatsayı olan a negatif olmalıdır, o halde a = –1. ÖRNEK Yukarıda grafiği verilen f parabolü x eksenini −2 ve 8 apsisli noktalarda, y eksenini de −3 ordinatlı noktada kestiğine göre f6 kaçtır? ÇÖZÜM Dedik ya parabol simetrik bir şekildir. İste ondan dolayı, yukarıdaki kökten sağa 2 birim gittiğimizde y değeri 3 azalıyorsa, sağdaki kökten sola doğru 2 birim ilerlediğimizde de y değeri 3 azalır. Diğer bir deyişle, şekildeki taralı bölgeler estir, o halde f6 = −3. Parabol Denkleminin Yazılması ÖRNEK A–1, 3, B1, 3 ve C0, 4 noktalarından geçen parabolün denklemini yazınız. ÇÖZÜM Parabolün denklemi olsun Mademki parabol bu noktalardan geçiyor, o halde bu koordinatlar parabol denklemini sağlıyordur. olur. Son eşitlikten bulduğumuz c = 4 eşitliğini ilk iki denklemde yerlerine yazıp, iki bilinmeyenli iki denklemi çözeceğiz a – b + 4 = 3 a + b + 4 = 3 çıkar ki, buradan da a = –1 ve b = 0 buluruz. Üç bilinmeyen de artık bilindiğinden geriye sadece denklemde yerlerine yazmak kaldı Kökleri Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması ÖRNEK Kökleri –3 ve 1 olan ikinci dereceden bir denklemin grafiği A2, 5 noktasından geçmektedir. Bu denklemi yazınız. ÇÖZÜM Derhal kökleri −3 ve 1 olan tüm ikinci dereceden denklemleri yazalım y = a.x + 3.x – 1 Bu denklemi 2, 5 de sağlaması gerekiyor. O halde 5 = a.2 + 32 – 1 olduğundan a = 1’dir. Parabol denklemi bulundu bile ÖRNEK x eksenini –1 apsisli, y eksenini –2 ordinatlı noktada kesen yukarıdaki parabolün, tepe noktasının apsisi 2 ise bu parabolün denklemini yazınız. ÇÖZÜM Tepe noktası simetri ekseni üzerinde bulunduğundan AC =CB’dir. O halde verilmemiş kök olan B noktasının apsisi 5’dir. Su durumda parabolün iki kökü ve geçtiği bir noktası bellidir. y = a.x + 1.x – 5 G0, –2 noktası da parabol üstünde olduğundan sağlaması gerekir. –2 = a.0 + 1.0 – 5 olduğundan Bize lazım olan her şey bulunduğundan parabol denklemini yazabiliriz Tepe Noktası Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması ÖRNEK Tepe noktası T1, 2 olup, G3, –5’ten geçen parabolün denklemini yazınız. ÇÖZÜM Denklemi Verilen Parabolün Tepe Noktasının Koordinatlarının Bulunması ÖRNEK parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığını bulunuz. ÇÖZÜM 1 Önce bir koordinatlarını bulalım, orijine olan uzaklı kolay. ÇÖZÜM 2 Tavsiyemiz bu yoldur, verilen ikinci dereceden denklemi derhal tam kare haline getirin, gerisi sırıtacak zaten. Ne kadar da formülüne benziyor değil mi? Aslında ta kendisi, o halde r = –2 ve k = 4. ÖRNEK parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM 1 ÇÖZÜM 2 Parabol İle Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları denkleminin diskriminantı ÖRNEK parabolü ile y = x + 6 doğrularının birbirlerine göre durumlarını inceleyiniz. Teğetseler degme noktasının, kesişiyorsalar kesim noktalarının koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM Görüldüğü gibi eşitlenen denklemlerin ortaya çıkardığı denklemin tek kökü var, o halde doğru parabole tek noktada değiyor, yani teğet. x = –1 olduğundan y = –1 + 6 = 5 olduğundan teğet degme noktası koordinatları –1, 5’tir. ÖRNEK parabolünün y = 2x – 21 doğrusuna göre konumunu belirleyiniz. ÇÖZÜM Her zamanki gibi denklemleri ortak çözeceğiz. Bu denklemin reel kökü olmadığından doğruyla parabol kesişmezler Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik Resmi Gazete Kabul Tarihi ilekanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre hakkı ihlal edilen öncelikle üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız. Ders 1 denklemin çözüm kümesi 26 dk Ders 2 denklemin çözüm kümesi 11 dk Ders 3 denklemin çözüm kümesi 9 dk Ders 4 denklemin çözüm kümesi 11 dk Ders 5 denklemin çözüm kümesi 6 dk Ders 6 denklemin çözüm kümesi 10 dk Ders 7 İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemler 8 dk Ders 8 İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemler 13 dk Ders 9 İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemler 8 dk Ders 10 İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemler 8 dk Ders 11 Değişken değiştirerek denklem çözme 8 dk Ders 12 Değişken değiştirerek denklem çözme 15 dk Ders 13 Değişken değiştirerek denklem çözme 8 dk Ders 14 Değişken değiştirerek denklem çözme 11 dk Ders 15 Köklü denklemlerin çözümü 4 dk Ders 16 Köklü denklemlerin çözümü 6 dk Ders 17 Köklü denklemlerin çözümü 14 dk Ders 18 Mutlak değerli denklemlerin çözümü 18 dk Ders 19 Mutlak değerli denklemlerin çözümü 7 dk Ders 20 Mutlak değerli denklemlerin çözümü 9 dk Ders 21 Kök ve Katsayı ilişkisi 4 dk Ders 22 Kök ve Katsayı ilişkisi 7 dk Ders 23 Kök ve Katsayı ilişkisi 6 dk Ders 24 Kök ve Katsayı ilişkisi 7 dk Ders 25 Kök ve Katsayı ilişkisi 8 dk Ders 26 Kök ve Katsayı ilişkisi 9 dk Ders 27 Kök ve Katsayı ilişkisi 6 dk Ders 28 Kök ve Katsayı ilişkisi 7 dk Ders 29 Kök ve Katsayı ilişkisi 5 dk Ders 30 Kök ve Katsayı ilişkisi 9 dk Ders 31 Kök ve Katsayı ilişkisi 9 dk Ders 32 Kök ve Katsayı ilişkisi 8 dk Ders 33 Ortak Köke sahip denklemler 7 dk Ders 34 Ortak Köke sahip denklemler 8 dk Ders 35 Ortak Köke sahip denklemler 6 dk Ders 36 Ortak Köke sahip denklemler 7 dk Ders 37 Kökleri verilen denklemin yazılması 5 dk Ders 38 Kökleri verilen denklemin yazılması 8 dk Ders 39 Kökleri verilen denklemin yazılması 9 dk Ders 40 Kökleri verilen denklemin yazılması 8 dk Ders 41 Derecesi 2 den büyük olan denklemler 11 dk Ders 42 Derecesi 2 den büyük olan denklemler 9 dk Ders 43 Derecesi 2 den büyük olan denklemler 10 dk Ders 44 Derecesi 2 den büyük olan denklemler 7 dk Ders 45 Derecesi 2 den büyük olan denklemler 8 dk Ders 46 Sanal sayı kavramı 17 dk Ders 47 Sanal sayı kavramı 6 dk Ders 48 Sanal sayı kavramı 11 dk Ders 49 Sanal sayı kavramı 4 dk Ders 50 Sanal sayı kavramı 5 dk Ders 51 Karmaşık sayı kavramı 10 dk Ders 52 Karmaşık sayı kavramı 11 dk Ders 53 Karmaşık sayılarda işlemler 16 dk Ders 54 Karmaşık sayılarda işlemler 9 dk Ders 55 Karmaşık sayılarda işlemler 6 dk Ders 56 Karmaşık sayılarda işlemler 7 dk Ders 57 Karmaşık sayılarda işlemler 6 dk Ders 58 Karmaşık sayılarda işlemler 7 dk Ders 59 Karmaşık sayılarda işlemler 12 dk Ders 60 Denklemler ile modellenen sorular 1 9 dk Ders 61 Denklemler ile modellenen sorular 1 10 dk Ders 62 Denklemler ile modellenen sorular 2 8 dk Ders 63 Denklemler ile modellenen sorular 2 10 dk Ders 64 Denklemler ile modellenen sorular 3 10 dk Ders 65 Denklemler ile modellenen sorular 3 7 dk Ders 66 Denklemler ile modellenen sorular 4 9 dk Ders 67 Denklemler ile modellenen sorular 4 7 dk Ders 68 Denklemler ile modellenen sorular 5 6 dk Ders 69 Denklemler ile modellenen sorular 5 8 dk

kökleri verilen ikinci dereceden denklemin yazılması